上帝怎麼畫一個方的圓

Q：上帝怎麼畫一個方的圓？

A：上帝畫一個方，然後說這是一個圓。

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一些基本定義

對於這樣的一個問題，我們必須要先釐清的是：甚麼叫做方形？甚麼叫做圓形？圓的嚴格定義是這樣的：一個圓是每個點到圓心都等距的圖形。但方形不容易做嚴格定義，一般的定義是：一個方形是四個邊等長且四個角相等的四邊形；但「四邊形」在我們這邊會造成一些不必要的困擾，所以我們給這樣的定義：一個方形是有四個直角並且四邊等長的圖形。這應該仍符合我們常理的直覺。

為了之後證明方便，這裡也需要先定義一些大家看起來很瑣碎的事情。第一個定義是：一條直線是兩點間最短的距離，反之，連接兩點間最短距離的是直線。我知道這很直覺很簡單很白癡，但你等一下就會發現事情不簡單（為了維持某些專業的格調，之後有時會稱直線為「測地線」(geodesic)，兩者是同樣的意思）。然後我們必須定義角度，但我們這裡不會出現太複雜的狀況，我們定義直角就可以了：若兩個向量的內積除以兩個向量長度相乘為一，則兩向量的夾角為直角。學過一點高中平面幾何的同學都很清楚這個定義怎麼來的：

$\theta$是兩個向量的夾角，當兩個向量垂直時，$\theta=90^{\circ}$，$\cos\theta=0$，$\text{i.e.}$（也就是說）$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left| a\right|\cdot\left| b\right|$。反過來說也是對的，就得到我們的定義。正確來說，這才是對直角真正嚴格的定義。

最後，要對我們一般的幾何觀念做一些非常粗淺的說明。我們現在一般所熟悉的幾何概念是從歐幾里得發展而來的，通稱歐氏幾何；這樣的幾何非常符合我們的直覺，也非常的容易明白。但後來物理學家、軍事學家（！）後來發現我們不能用歐氏幾何來對付我們會遇到的問題，而數學家和邏輯學家則是出於對歐幾里得公設（axiom）的懷疑，紛紛發展出了非歐幾何。非歐幾何將所有的概念重新定義，包含重新定義長度、重新定義內積，進而發展出對整個空間的了解。我們等一下會實際看到這是怎麼運作的，以及為甚麼這比歐氏幾何更貼近我們所處真實的世界。而這裡必須要說的是，不要覺得我們對長度的了解就是絕對的長度，因為雖然那很直觀，但那卻不是我們可以完全用來理解這個世界的方法。

（然後，如果你對數學沒興趣、看到數學就會反胃，可以直接跳過下一個部分，並不會太大影響你之後的閱讀。）

方的圓是甚麼意思？

$\underline{\textit{Notation}}$

• $\mathbb{X}=(x,y),~\mathbb{X}_i=(x_i,y_i) \text{ are vectors}$ (向量)$\text{.}$
• $d(\mathbb{X}_1,\mathbb{X}_2)\text{ denotes the metric}$ (度量，可以理解為長度或距離) $\text {in the space.}$
• $<\mathbb{X}_1,\mathbb{X}_2>\text{ denotes the inner product in the space.}$
• $\parallel\mathbb{X}\parallel\text{ denotes the norm}$ (範數，可以理解為絕對值) $\text {in the space.}$
• $\text{Write $A_i$ to be a vertex of a figure(with coordinate correspond to $\mathbb{X}_i$),}$
  $\text{ $\gamma_i$ to be a curve(or parametrized by $\gamma_i(t)$), and $o$ is the center of a circle.}$
• $\text{For convenience, let $A_5=A_1$.}$

$\underline{\textit{Remark}}$

$\text{Under Euclidean space(but clearly not our case here),}$

• $\text{$d(\mathbb{X}_1,\mathbb{X}_2)=\overline{\mathbb{X}_1\mathbb{X}_2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$}$
• $\text{$<\mathbb{X}_1,\mathbb{X}_2>=\mathbb{X}_1\cdot\mathbb{X}_2=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$}$
• $\text{$\parallel\mathbb{X}\parallel=\left|\vec{X}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$}$

$\underline{\textit{Conditions}}$

$\text{What we require the figure to be a square is}$

$\text{}$Inequality (1) asserts that γ_i is the geodesic line, i.e. the curve is the “straight line” between two vertexes. And equation (2) asserts that four edges have the same length, while equation (3) asserts that they are perpendicular.

And what require the figure to be a circle is

It's now easy to see that since the metric is arbitrary, and so is the inner product, as the norm follows, it's not hard to find some non-Euclidean space to fit the requirements(e.g. consider the maximum norm on ℝ²), hence we have something both square and circle. We won't bother to have further discussions on strict mathematical proof, but will be focusing on some interesting(and not so complicated) cases where circles may look like squares, and some squares looking like circles.

計程車司機幾何

我們來考慮一個很特別，但卻是我們生活中隨時可見的空間。把 Figure 2 中的格線想成街道，那麼，這就如同一個計程車司機平常生活的空間，在這樣空間上討論的幾何稱為「計程車司機幾何」（Taxicab geometry）。在這樣的空間中怎麼計算距離呢？假設一個格子的長度是 1，那麼司機從 A 點開到 B 點要走多遠呢？太簡單了，小學生都知道是 2。那麼，如果司機要從 A 點開到 C 點，距離是多遠呢？還是不難，把路線畫下來就知道同樣是 2。現在，我們把所有與 A 點距離 2 的點標示起來：

神奇的事情發生了！與圓心（A點）都等距的點，不是圓的定義嗎？怎麼看起來像是正方形！？好吧，也許你覺得這中間沒有線連起來，還不構成一個真正的正方形，那我們現在對這個空間來做一個一般性的推廣。

$\underline{\textit{Definition}}$

這裡不做詳細的數學證明（有興趣可以參考”The Norm in Taxicab Geometry“），我們直接來看看到底發生了甚麼事情。當我們把距離定義成純粹$\text{$x$}$方向的差加上$\text{$y$}$方向的差時，就如同我們把空間切成無數個很細很細的格子點，因此我們會有如同剛剛在計程車司機幾何裡的性質，只是格子被切的很細，點和點之間無限接近，也就可以形成一條線。這樣講非常不數學，但我們來看圖就能明白。

這看起來是一個正方形。我也的確畫了一個正方形。但這個正方形有甚麼性質呢？我們先只要考慮 AB 和其上任一點$\text{$X$}$，其他部分都有對稱性。OA = OB就不用說了，那 OX 是多長呢？因為這每條線相當於很多細小的格子組成，所以 OX 相當於先走 OP 再走 PX（想想剛才的計程車司機，或者你用距離的定義來想也是同樣的結果）。而如果我們畫的時候把 AB 的斜率畫成 1，那麼就會得到 AP = PX，也就是說，OX = OA。這點$\text{$X$}$是任意選的，所以對於任何這個「正方形」上的點都對，所以事實上，這個「正方形」是一個圓。我們畫出了一個方的圓。更特別的，如果你把 A、B 兩點用四分之一的圓弧連接起來，這條圓弧的長度和 AB 還是一樣長！透過這樣的方式，配合上選擇圖形位置的技巧就可以構造出圓的方了。在這個空間裡，正方形可以長甚麼樣子呢？也許有其他狀況，但我畫出的正方形是三角形的樣子。

非歐幾何與真實世界

或許對很多人來說，這東西太抽象、太不真實了，你也許會說：「這不過是數學家的把戲罷了。」但事實上，我們正正好活在一個非歐幾何的世界中－－別的不說，我們所居住的地球本身就是一個球面幾何（非歐幾何的典型）。這就是為甚麼軍事家也研究非歐幾何，因為不從非歐幾何的角度去計算理解，飛彈會炸錯人。舉個例子來說吧，大家有沒有想過，地球上每條經線都是連接南北極最短的距離的「直線」（也就是測地線），而每條經線都跟赤道垂直，所以每條經線應該都是平行的，但是這些經線又全部相交於南北極！？在非歐幾何中，平行線會相交是經常發生的情況。如果扯上物理學的話，無論天文物理還是量子物理，例子就更多了，但我想還是就此打住吧。

上帝能不能．．．？

雖然這樣一篇不上不下的論述對數學家來說太過簡單，卻又不是哲學家（以及那些對上帝全能提出質疑的人）真正想看的，但我想表達的是，很多時候我們覺得不對、不合理，純粹只是我們知道的太少了。這透露出人有多麼的自我中心、自以為是，以及盲目。我們覺得我們可以判斷，我們覺得這樣很對、那樣不對，我們覺得事情應該要照著「合理」的方向走；殊不知，所謂的「合理」經常是我們隱藏自己無知的自欺而已。回到文章最開頭的那段問答，乍看之下會覺得這樣的上帝實在是霸道蠻橫，但事實上就是如此－－事情是怎麼樣，上帝說的算。你是誰，竟敢向上帝強嘴呢？上帝究竟是不是全能的、是不是全善的，難道輪的到你來評斷？

願我們都能謙卑、順服，願榮耀都歸給上帝。